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107 台聯大微積分(A2) 第 5 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

107學年度 · 107微積分A2 · 第 5 題

題目

Problem

甲、填充題:共 8 題,每題 8 分,共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Find the volume of the solid bounded above by the surface z=f(x,y)z=f(x,y) and below by the plane region RR, where f(x,y)=ln⁡xf(x,y)=\ln x and RR is bounded by the graphs y=2xy=2x and y=0y=0 from x=1x=1 to x=3x=3. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

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  • 先依題目給出的兩條 yy 邊界寫出平面區域,再把曲面高度 z=ln⁡xz=\ln x 作二重積分。

答題過程

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區域可寫成

R={(x,y)∣1≤x≤3, 0≤y≤2x}.R=\{(x,y)\mid1\le x\le3,\ 0\le y\le2x\}.

故體積為

V= ∫13∫02xln⁡x dy dx= ∫132xln⁡x dx= [x2ln⁡x−x22]13= 9ln⁡3−4.\begin{align*} V=&\,\int_1^3\int_0^{2x}\ln x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\int_1^3 2x\ln x\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\left[x^2\ln x-\frac{x^2}{2}\right]_1^3\\[4mm] =&\,9\ln3-4. \end{align*}

因此 V=9ln⁡3−4\boxed{V=9\ln3-4}。