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107 台聯大微積分(A2) 第 3 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

107學年度 · 107微積分A2 · 第 3 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。

  1. Evaluate the integral ∬R3−x2−y2 dA\displaystyle\iint_R \sqrt{3-x^2-y^2}\,dA, where R={(x,y)∣x2+y2≤3}R=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 3\}. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

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  • 區域是半徑 3\sqrt3 的圓盤，而被積函數只依賴 x2+y2x^2+y^2；用極坐標把二重積分化成一元積分。

答題過程

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令 x=rcos⁡θx=r\cos\theta、y=rsin⁡θy=r\sin\theta，則 0≤r≤30\le r\le\sqrt3、0≤θ≤2π0\le\theta\le2\pi，且 dA=r dr dθ\mathrm{d}A=r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta。因此

∬R3−x2−y2 dA= ∫02π∫033−r2 r dr dθ= 2π[−13(3−r2)3/2]03= 2π3.\begin{align*} \iint_R\sqrt{3-x^2-y^2}\,\mathrm{d}A =&\,\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt3}\sqrt{3-r^2}\,r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,2\pi\left[-\frac13(3-r^2)^{3/2}\right]_0^{\sqrt3}\\[4mm] =&\,2\pi\sqrt3. \end{align*}

故答案為 2π3\boxed{2\pi\sqrt3}。