題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 大題，每大題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

a. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{2/n}}{n^2}$

b. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\sqrt{3n^2+5}}$

解答

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當 $n\ge1$ 時， $e^{2/n}\le e^2$ ，故

0\le\frac{e^{2/n}}{n^2}\le\frac{e^2}{n^2}.

右側是收斂的 $p$ 級數，故原級數 $\boxed{\text{收斂}}$ 。

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\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{3n^2+5}} =\lim_{n\to\infty}\frac1{\sqrt{3+5/n^2}} =\frac1{\sqrt3}\ne0.

一般項不趨近於零，故由項值判別法，原級數 $\boxed{\text{發散}}$ 。