題目 Problem 甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請在答案卷上列出題號依序作答。 Evaluate ∫06∫x/32xy3+1 dy dx\displaystyle\int_0^6\int_{x/3}^2 x\sqrt{y^3+1}\,dy\,dx∫06∫x/32xy3+1dydx. Answer : \underline{\quad(1)\quad} 解答 解法一 交換積分次序後，0≤y≤20\leq y\leq20≤y≤2、0≤x≤3y0\leq x\leq3y0≤x≤3y，故 ∫02∫03yxy3+1 dx dy=92∫02y2y3+1 dy=78.\int_0^2\int_0^{3y}x\sqrt{y^3+1}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\frac92\int_0^2y^2\sqrt{y^3+1}\,\mathrm{d}y=\boxed{78}. ∫02∫03yxy3+1dxdy=29∫02y2y3+1dy=78.
