題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{-5xy}{x^2+y^2}, & \text{if }(x,y)\ne(0,0),\\ 0, & \text{if }(x,y)=(0,0), \end{cases}

show that $f_x(0,0)$ and $f_y(0,0)$ both exist, but that $f$ is not differentiable at $(0,0)$ .

解答

沿兩座標軸，函數皆為 $0$ ，所以 $f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$ 。但沿 $y=x$ ，

$f(x,x)=-\frac52\quad(x\ne0),$

不趨近 $f(0,0)=0$ 。故 $f$ 在原點不連續，因而

$\boxed{\text{不可微}}.$