106 台聯大微積分(A2) 第 11 題

題目

Problem

乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

Determine whether the series $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}$ converges absolutely or conditionally, or diverges.

令 $a_n=n!/n^n$ 。比值為

\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(\frac n{n+1}\right)^n\longrightarrow e^{-1}<1.

由比值審斂法，級數收斂；因各項為正，故為

\boxed{\text{絕對收斂}}.