題目 Problem 乙、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。 Evaluate ∫06∫x/32xy3+1 dy dx\displaystyle\int_0^6\int_{x/3}^2 x\sqrt{y^3+1}\,dy\,dx∫06∫x/32xy3+1dydx. 解答 解法一 交換積分次序後，區域為 0≤y≤20\leq y\leq20≤y≤2、0≤x≤3y0\leq x\leq3y0≤x≤3y。故 ∫06∫x/32xy3+1 dy dx= ∫02∫03yxy3+1 dx dy= 92∫02y2y3+1 dy= 78.\begin{align*} \int_0^6\int_{x/3}^2x\sqrt{y^3+1}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =&\,\int_0^2\int_0^{3y}x\sqrt{y^3+1}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\frac92\int_0^2y^2\sqrt{y^3+1}\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\boxed{78}. \end{align*}∫06∫x/32xy3+1dydx===∫02∫03yxy3+1dxdy29∫02y2y3+1dy78.
