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105 台聯大微積分(A3/A4/A6) 第 7 題

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105學年度 · 105微積分A3/A4/A6 · 第 7 題

題目

Problem

7. (20 points): (a) Prove that

∫0∞(sin⁡xx)2dx=∫0∞sin⁡xx dx.\int_0^\infty \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2dx=\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx.

(b) Evaluate the improper integral

∫0∞sin⁡xx dx.\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,dx.

解答

解法一

思路

展開

（a）對平方的 sinc 函數分部積分，會化成同一個 Dirichlet 積分。（b）再以指數衰減因子求該瑕積分的極限。

答題過程

展開

(a) 對 [ε,R][\varepsilon,R] 分部積分，取 u=sin⁡2xu=\sin^2x、dv=x−2 dx\mathrm{d}v=x^{-2}\,\mathrm{d}x。令 ε→0+\varepsilon\to0^+、R→∞R\to\infty，邊界項皆為 00，故

∫0∞(sin⁡xx)2 dx= ∫0∞sin⁡(2x)x dx= ∫0∞sin⁡uu du,\begin{align*} \int_0^\infty\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2\,\mathrm{d}x =&\,\int_0^\infty\frac{\sin(2x)}{x}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\int_0^\infty\frac{\sin u}{u}\,\mathrm{d}u, \end{align*}

其中最後一步用了 u=2xu=2x。

(b) 對 a>0a>0，令

F(a)=∫0∞e−axsin⁡xx dx.F(a)=\int_0^\infty e^{-ax}\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x.

可逐項微分得 F′(a)=−1/(1+a2)F'(a)=-1/(1+a^2)，且 F(a)→0F(a)\to0（a→∞a\to\infty），所以

F(a)=tan⁡−11a.F(a)=\tan^{-1}\frac1a.

令 a→0+a\to0^+，得到

∫0∞sin⁡xx dx=π2.\boxed{\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\,\mathrm{d}x=\frac\pi2}.