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105 台聯大微積分(A3/A4/A6) 第 6 題

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105學年度 · 105微積分A3/A4/A6 · 第 6 題

題目

Problem

6. (10 points): The nn-th derivative of 1x2016−1\dfrac{1}{x^{2016}-1} has the form Pn(x)(x2016−1)n+1\dfrac{P_n(x)}{(x^{2016}-1)^{n+1}} where Pn(x)P_n(x) is a polynomial. Find Pn(1)P_n(1) for all n≥0n\ge 0.

解答

解法一

思路

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把第 nn 次導數的形式再微分一次，得到 PnP_n 的遞迴式；在 x=1x=1 代入後，含 (x2016−1)(x^{2016}-1) 的項會消失。

答題過程

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由題設，

dn+1dxn+11x2016−1=Pn′(x)(x2016−1)−2016(n+1)x2015Pn(x)(x2016−1)n+2.\frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}}\frac1{x^{2016}-1} =\frac{P_n'(x)(x^{2016}-1)-2016(n+1)x^{2015}P_n(x)}{(x^{2016}-1)^{n+2}}.

故

Pn+1(x)=Pn′(x)(x2016−1)−2016(n+1)x2015Pn(x).P_{n+1}(x)=P_n'(x)(x^{2016}-1)-2016(n+1)x^{2015}P_n(x).

又 P0(x)=1P_0(x)=1，在 x=1x=1 代入遞迴式得

Pn+1(1)=−2016(n+1)Pn(1).P_{n+1}(1)=-2016(n+1)P_n(1).

因此

Pn(1)=(−2016)nn!(n≥0).\boxed{P_n(1)=(-2016)^n n!\quad(n\geq0)}.