題目

Problem

4. (10 points): For what positive $x$ does the following series converge?

\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt[n]{x}-1)

解答

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第 $n$ 項可寫成 $e^{(\ln x)/n}-1$ ，其主要項為 $(\ln x)/n$ 。除非 $\ln x=0$ ，便會與調和級數同樣發散。

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令 $a=\ln x$ 。當 $n\to\infty$ ，

n\left(x^{1/n}-1\right)=n\left(e^{a/n}-1\right)\longrightarrow a.

若 $a\ne0$ ，由極限比較判別法，原級數與 $\sum1/n$ 同樣發散；若 $a=0$ ，每項皆為 $0$ 。因此只有

\boxed{x=1}

時級數收斂。