題目 Problem 3. (10 points): Compute limx→∞(x+x+x−x)\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x}\right)x→∞lim(x+x+x−x) 解答 解法一 思路 展開 兩個大根號相減，先有理化。分母約為 2x2\sqrt{x}2x；分子中的巢狀根號約為 x\sqrt{x}x，故極限可化成簡單比值。 答題過程 展開 有理化後， x+x+x−x= x+xx+x+x+x= 1+x−1/21+x−1/2+x−3/41+x−1/2+1.\begin{align*} \sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}-\sqrt{x} =&\,\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}}}{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}+\sqrt{x}}\\[4mm] =&\,\frac{\sqrt{1+x^{-1/2}}}{\sqrt{1+x^{-1/2}+x^{-3/4}\sqrt{1+x^{-1/2}}}+1}. \end{align*}x+x+x−x==x+x+x+xx+x1+x−1/2+x−3/41+x−1/2+11+x−1/2. 令 x→∞x\to\inftyx→∞，分子趨近 111、分母趨近 222，所以所求極限為 12.\boxed{\frac12}.21.
