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105 台聯大微積分(A3/A4/A6) 第 1 題

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105學年度 · 105微積分A3/A4/A6 · 第 1 題

題目

Problem

  1. (10 points): Let
I=∮Cyx2+y2 dx−xx2+y2 dyI=\oint_C \frac{y}{x^2+y^2}\,dx-\frac{x}{x^2+y^2}\,dy

where CC is a circle oriented counterclockwise. (a) Evaluate II if CC is given by (x−2016)2+(y−2016)2=1(x-2016)^2+(y-2016)^2=1. (b) Evaluate II if CC is given by x2+y2=1x^2+y^2=1.

解答

解法一

思路

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此線積分是極角的負微分。若圓不包住原點，角度繞行淨變化為零；若包住原點一次，逆時針繞行給出 −2π-2\pi。

答題過程

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在不含原點的區域，令 x=rcos⁡θx=r\cos\theta、y=rsin⁡θy=r\sin\theta，則

yx2+y2 dx−xx2+y2 dy=−dθ.\frac{y}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}x-\frac{x}{x^2+y^2}\,\mathrm{d}y=-\mathrm{d}\theta.

(a) 圓心 (2016,2016)(2016,2016)、半徑 11，不包住原點，故 θ\theta 的淨變化為 00，

I=0.\boxed{I=0}.

(b) 單位圓逆時針繞原點一次，Δθ=2π\Delta\theta=2\pi，故

I=−2π.\boxed{I=-2\pi}.