題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上，不必寫演算過程。

Find the area under the curve $y=\dfrac{\ln x}{x^2}$ from $x=1$ to $x=\infty$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

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這是瑕積分；先求反導函數，最後再取上限趨於無窮大的極限。

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分部積分可得

\int\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x=-\frac{\ln x+1}{x}+C.

故

\begin{align*} \int_1^\infty\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x =&\,\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{\ln x+1}{x}\right]_1^b\\[4mm] =&\,\boxed{1}. \end{align*}