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105 台聯大微積分(A2 951) 第 7 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2 951

105學年度 · 105微積分A2 951 · 第 7 題

題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上，不必寫演算過程。

  1. Find the limit: lim⁡h→01h∫xx+h1+t2 dt\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_x^{x+h}\sqrt{1+t^2}\,dt. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

思路

展開

這是積分平均變化率。由積分中值定理（或微積分基本定理）可直接取極限。

答題過程

展開

因 1+t2\sqrt{1+t^2} 連續，存在 chc_h 介於 xx 與 x+hx+h，使得

1h∫xx+h1+t2 dt=1+ch2.\frac1h\int_x^{x+h}\sqrt{1+t^2}\,\mathrm{d}t=\sqrt{1+c_h^2}.

當 h→0h\to0 時，ch→xc_h\to x，所以極限為

1+x2.\boxed{\sqrt{1+x^2}}.