題目

Problem

甲、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

a. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3n^2+5}$

b. $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{\ln n}}$

解答

展開

兩小題都與熟悉的調和級數比較；第二小題也可用積分判別法直接判定。

展開

(a)

\lim_{n\to\infty}\frac{n/(3n^2+5)}{1/n}=\frac13>0.

由極限比較判別法，與 $\sum1/n$ 同敛散，故此級數 $\boxed{\text{發散}}$ 。

(b) 令 $u=\ln x$ ，則

\int_2^\infty\frac{1}{x\sqrt{\ln x}}\,\mathrm{d}x =&\,\int_{\ln2}^\infty u^{-1/2}\,\mathrm{d}u=\infty.

函數最終為正且遞減，故積分判別法給出此級數亦 $\boxed{\text{發散}}$ 。