微積分福音

105 台聯大微積分(A2 951) 第 1 題

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105學年度 · 105微積分A2 951 · 第 1 題

題目

Problem

甲、計算、證明題：共 3 題，每題 12 分，共 36 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

Sketch the region of integration, reverse the order of integration, and evaluate the integral $\displaystyle\int_0^2\int_0^{4-x^2}\frac{xe^{2y}}{4-y}\,dy\,dx$ .

解答

解法一

思路

展開

先把區域改寫成以 $y$ 為外層的範圍。如此先對 $x$ 積分時，分子中的 $x$ 恰好消去分母的 $4-y$ 。

答題過程

展開

原區域為 $0\leq x\leq2$ 、 $0\leq y\leq4-x^2$ 。交換次序後為

0\leq y\leq4,\qquad0\leq x\leq\sqrt{4-y}.

因此（在 $y=4$ 處以瑕積分理解）

\begin{align*} \int_0^2\int_0^{4-x^2}\frac{xe^{2y}}{4-y}\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x =&\,\int_0^4\int_0^{\sqrt{4-y}}\frac{xe^{2y}}{4-y}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\frac12\int_0^4e^{2y}\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\boxed{\frac{e^8-1}{4}}. \end{align*}