題目
Problem
8. Evaluate ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x x + y ( y − 2 x ) 2 d y d x \displaystyle\int_0^1\int_0^{1-x}\sqrt{x+y}\,(y-2x)^2\,dy\,dx ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x x + y ( y − 2 x ) 2 d y d x u = x + y u=x+y u = x + y v = y − 2 x v=y-2x v = y − 2 x u v uv uv
解答
解法一
思路
展開
被積分式正好以 x + y x+y x + y y − 2 x y-2x y − 2 x x , y x,y x , y u v uv uv
答題過程
展開
由
u = x + y , v = y − 2 x u=x+y,\qquad v=y-2x u = x + y , v = y − 2 x 解得
x = u − v 3 , y = 2 u + v 3 , ∣ ∂ ( x , y ) ∂ ( u , v ) ∣ = 1 3 . x=\frac{u-v}{3},\qquad y=\frac{2u+v}{3},
\qquad
\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac13. x = 3 u − v , y = 3 2 u + v , ∂ ( u , v ) ∂ ( x , y ) = 3 1 . 原區域由 x ≥ 0 x\geq0 x ≥ 0 y ≥ 0 y\geq0 y ≥ 0 x + y ≤ 1 x+y\leq1 x + y ≤ 1 u v uv uv
0 ≤ u ≤ 1 , − 2 u ≤ v ≤ u . 0\leq u\leq1,\qquad -2u\leq v\leq u. 0 ≤ u ≤ 1 , − 2 u ≤ v ≤ u . 故
∫ 0 1 ∫ 0 1 − x x + y ( y − 2 x ) 2 d y d x = ∫ 0 1 ∫ − 2 u u u v 2 ⋅ 1 3 d v d u = ∫ 0 1 u 7 / 2 d u = 2 9 . \begin{align*}
\int_0^1\int_0^{1-x}\sqrt{x+y}\,(y-2x)^2\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}x
=&\,\int_0^1\int_{-2u}^{u}\sqrt{u}\,v^2\cdot\frac13\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u\\[4mm]
=&\,\int_0^1u^{7/2}\,\mathrm{d}u\\[4mm]
=&\,\boxed{\frac29}.
\end{align*} ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x x + y ( y − 2 x ) 2 d y d x = = = ∫ 0 1 ∫ − 2 u u u v 2 ⋅ 3 1 d v d u ∫ 0 1 u 7/2 d u 9 2 . 