CalcGospel 微積分福音
返回

104 台聯大微積分(A3/A4/A5/A7) 第 4 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A3/A4/A5/A7

104學年度 · 104微積分A3/A4/A5/A7 · 第 4 題

題目

Problem

4. Find the interval of convergence of the power series ∑n=1∞2n(x−3)n(n+1)!\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n(x-3)^n}{(n+1)!}. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

解法一

思路

展開

以比值審斂法檢查冪級數係數。階乘使係數衰減得很快，任何固定的 xx 都會收斂。

答題過程

展開

令

an=2n(x−3)n(n+1)!.a_n=\frac{2n(x-3)^n}{(n+1)!}.

則

\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =&\,\left|\frac{(n+1)(x-3)^{n+1}}{(n+2)!}\cdot\frac{(n+1)!}{n(x-3)^n}\right|\\[4mm] =&\,|x-3|\frac{n+1}{n(n+2)}\longrightarrow0.

極限對每個實數 xx 都小於 11，故此冪級數對所有實數皆收斂；收斂區間是

(−∞,∞).\boxed{(-\infty,\infty)}.