題目

Problem

甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上。

If $f(x)=\ln x+\tan^{-1}x$ , find $(f^{-1})'\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

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反函數導數公式需要先找出 $a$ ，使得 $f(a)=\frac\pi4$ ；再取原函數在該點的導數倒數。

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先注意到

f(1)=&\,\ln1+\tan^{-1}1=\frac\pi4.

又

f'(x)=&\,\frac1x+\frac1{1+x^2}, \qquad f'(1)=\frac32.

因此由反函數求導公式，

(f^{-1})'\left(\frac\pi4\right) =&\,\frac1{f'(1)} =&\,\boxed{\frac23}.