題目 Problem 甲、填充題：共 8 題，每題 8 分，共 64 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上。 Evaluate ∫01xe2x(2x+1)2 dx\displaystyle\int_0^1 \frac{xe^{2x}}{(2x+1)^2}\,dx∫01(2x+1)2xe2xdx. Answer : \underline{\quad(1)\quad} 解答 ddx(e2x2x+1)=4xe2x(2x+1)2.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{e^{2x}}{2x+1}\right)=\frac{4xe^{2x}}{(2x+1)^2}.dxd(2x+1e2x)=(2x+1)24xe2x. 所以 ∫01xe2x(2x+1)2 dx=14[e2x2x+1]01=14(e23−1).\int_0^1\frac{xe^{2x}}{(2x+1)^2}\,\mathrm{d}x =\frac14\left[\frac{e^{2x}}{2x+1}\right]_0^1 =\boxed{\frac14\left(\frac{e^2}{3}-1\right)}.∫01(2x+1)2xe2xdx=41[2x+1e2x]01=41(3e2−1).
