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103 台聯大微積分(A3/A4/A5/A7) 第 8 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A3/A4/A5/A7

103學年度 · 103微積分A3/A4/A5/A7 · 第 8 題

題目

Problem

8. Find the work done by the force F=xyi+(y−x)j\mathbf{F}=xy\mathbf{i}+(y-x)\mathbf{j} over the straight line from (1,1)(1,1) to (2,3)(2,3). Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

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  • 將線段參數化，再計算 ∫CF⋅dr\int_C\mathbf F\cdot\mathrm{d}\mathbf r。

答題過程

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取 r(t)=(1+t,1+2t)\mathbf r(t)=(1+t,1+2t)，0≤t≤10\le t\le1。則

F(r(t))⋅r′(t)=(1+t)(1+2t)+2t=1+5t+2t2.\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t) =(1+t)(1+2t)+2t=1+5t+2t^2.

因此作功為

∫01(1+5t+2t2) dt=256.\int_0^1(1+5t+2t^2)\,\mathrm{d}t=\boxed{\frac{25}{6}}.