題目 Problem 6. Evaluate the integral ∫261x4x+1 dx\displaystyle\int_2^6 \frac{1}{x\sqrt{4x+1}}\,dx∫26x4x+11dx. Answer : \underline{\quad(1)\quad} 解答 思路 展開 令根號為新變數，分母的 xxx 可化為新變數的平方差。 答題過程 展開 令 u=4x+1u=\sqrt{4x+1}u=4x+1，則 x=(u2−1)/4x=(u^2-1)/4x=(u2−1)/4，積分上下限為 3,53,53,5。因此 ∫261x4x+1 dx= ∫352u2−1 du= [lnu−1u+1]35= ln43.\begin{align*} \int_2^6\frac1{x\sqrt{4x+1}}\,\mathrm{d}x =&\,\int_3^5\frac2{u^2-1}\,\mathrm{d}u\\[4mm] =&\,\left[\ln\frac{u-1}{u+1}\right]_3^5\\[4mm] =&\,\ln\frac43. \end{align*}∫26x4x+11dx===∫35u2−12du[lnu+1u−1]35ln34. 故答案為 ln43\boxed{\ln\frac43}ln34。
