103 台聯大微積分(A3/A4/A5/A7) 第 10 題

題目

Problem

2. Find the directional derivative of the function $h(x,y,z)=\cos(xy)+e^x+\ln(zx)$ at $(1,0,1/2)$ in the direction of $\mathbf{u}=\mathbf{i}+2\mathbf{j}+2\mathbf{k}$ .

解答

思路

展開

方向導數為梯度與單位方向向量的內積。

答題過程

展開

\nabla h=(-y\sin(xy)+e^x+1/x,\ -x\sin(xy),\ 1/z).

在 $(1,0,1/2)$ ， $\nabla h=(e+1,0,2)$ ；而單位方向向量為 $(1,2,2)/3$ 。故

D_{\mathbf u}h=\boxed{\frac{e+5}{3}}.