微積分福音

103 台聯大微積分(A2) 第 9 題

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103學年度 · 103微積分A2 · 第 9 題

題目

Problem

甲、填充題：共 10 題，每題 8 分，共 80 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上，不必寫演算過程。

Evaluate $\displaystyle\iint_R e^{y^2}\,dA$ ; $R$ is bounded by $x=0$ , $y=2x$ , and $y=2$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

展開

先以 $y$ 作外層變數描述三角形區域，讓與 $x$ 無關的被積函數容易積分。

答題過程

展開

由 $y=2x$ 可得 $x=y/2$ ，因此

\begin{align*} \iint_R e^{y^2}\,\mathrm{d}A =&\,\int_0^2\int_0^{y/2}e^{y^2}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\frac12\int_0^2ye^{y^2}\,\mathrm{d}y\\[4mm] =&\,\frac14(e^4-1). \end{align*}

故答案為 $\boxed{\frac{e^4-1}{4}}$ 。