題目

Problem

甲、填充題：共 10 題，每題 8 分，共 80 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上，不必寫演算過程。

Find the area under the curve $y=\dfrac{\ln x}{x^2}$ from $x=1$ to $x=\infty$ . Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

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\begin{align*} \int_1^b\frac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x =&\,\left[-\frac{\ln x}{x}\right]_1^b+\int_1^b\frac1{x^2}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,-\frac{\ln b}{b}+1-\frac1b. \end{align*}

令 $b\to\infty$ ， $\ln b/b\to0$ ，故所求面積為 $\boxed{1}$ 。