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103 台聯大微積分(A2) 第 2 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

103學年度 · 103微積分A2 · 第 2 題

題目

Problem

甲、計算、證明題：共 2 題，每題 10 分，共 20 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

  1. A manufacturer of aquariums wants to make a large rectangular box-shaped (an open rectangular box) aquarium that will hold 64 cubic feet of water. If the material for the base costs $20 per square foot and the material for the sides costs $10 per square foot, find the dimension for which the cost of the materials will be least.

解答

思路

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  • 設底面長寬為 x,yx,y、高為 hh。體積限制先消去 hh，再對成本函數求偏導數。

答題過程

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由 xyh=64xyh=64，有 h=64/(xy)h=64/(xy)。底面成本為 20xy20xy，四個側面的成本為 20h(x+y)20h(x+y)，故

C(x,y)=20xy+1280x+1280y.C(x,y)=20xy+\frac{1280}{x}+\frac{1280}{y}.

令兩個偏導數為零：

Cx=20y−1280x2=0,Cy=20x−1280y2=0.C_x=20y-\frac{1280}{x^2}=0,\qquad C_y=20x-\frac{1280}{y^2}=0.

相除得 x=yx=y，代回可得 x3=64x^3=64，所以 x=y=4x=y=4，並且 h=64/16=4h=64/16=4。因此最省材料的尺寸是

4 ft×4 ft×4 ft.\boxed{4\text{ ft}\times4\text{ ft}\times4\text{ ft}}.