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103 台聯大微積分(A2) 第 12 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

103學年度 · 103微積分A2 · 第 12 題

題目

Problem

甲、填充題：共 10 題，每題 8 分，共 80 分。請將答案依題號順序寫在答案卷上，不必寫演算過程。

  1. Find f′′(2)f''(2) if f(x)=eg(x)f(x)=e^{g(x)} and g(x)=∫2xt1+t4 dtg(x)=\displaystyle\int_2^x \frac{t}{1+t^4}\,dt. Answer : \underline{\quad(1)\quad}

解答

思路

展開
  • 對複合函數 eg(x)e^{g(x)} 微分兩次；再由微積分基本定理求出 g′(2)g'(2) 與 g′′(2)g''(2)。

答題過程

展開 f′′(x)=eg(x)[(g′(x))2+g′′(x)].f''(x)=e^{g(x)}\big[(g'(x))^2+g''(x)\big].

又 g(2)=0g(2)=0，

g′(x)=x1+x4,g′′(x)=1−3x4(1+x4)2.g'(x)=\frac{x}{1+x^4},\qquad g''(x)=\frac{1-3x^4}{(1+x^4)^2}.

所以 g′(2)=2/17g'(2)=2/17、g′′(2)=−47/289g''(2)=-47/289，從而

f′′(2)=4289−47289=−43289.f''(2)=\frac4{289}-\frac{47}{289}=\boxed{-\frac{43}{289}}.