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103 台聯大微積分(A2) 第 1 題

考題 / 轉學考微積分 / 台聯大 / 微積分A2

103學年度 · 103微積分A2 · 第 1 題

題目

Problem

甲、計算、證明題：共 2 題，每題 10 分，共 20 分。須詳細寫出計算及證明過程，否則不予計分。

  1. The production of QQ units of a commodity is related to the amount of labor xx and the amount of capital yy (in suitable units) expended by the equation Q=f(x,y)=x3/4y1/4Q=f(x,y)=x^{3/4}y^{1/4}. If an expenditure of 100 units is available for production, how should it be apportioned between labor and capital so that QQ is maximized?

解答

思路

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  • 可用總支出限制 x+y=100x+y=100 消去一個變數，再找單變數函數的內部極大值。

答題過程

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由 y=100−xy=100-x，只須極大化 Q4=x3(100−x)Q^4=x^3(100-x)（四次方不改變正值的大小）。

ddx[x3(100−x)]=x2(300−4x).\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big[x^3(100-x)\big] =x^2(300-4x).

在 0<x<1000<x<100 的臨界點為 x=75x=75；端點產量皆為零，故此點給最大值。於是

x=75,y=25.\boxed{x=75,\quad y=25}.