1. 本題要求計算平面向量場 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ 沿著開曲線 $C$ 的線積分。
2. 我們首先檢驗向量場是否保守：
   • $P(x, y) = \ln(y^2 + 1) - 4y + e^x \implies \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{2y}{y^2 + 1} - 4$
   • $Q(x, y) = \frac{2xy}{y^2 + 1} + x \implies \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{2y}{y^2 + 1} + 1$ 由於 $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 5 \neq 0$，向量場並非保守場。但這極為簡潔的旋度差值 $5$ 暗示我們可以利用格林定理 (Green’s Theorem)。
3. 第一步：建構閉合路徑：
   • 曲線 $C$ 是由兩部分組成：圓弧段 $C_2$（從 $(2, 0)$ 到 $(1, \sqrt{3})$）與直線段 $C_3$（從 $(1, \sqrt{3})$ 到 $(0, 0)$）。
   • 為了讓路徑閉合，我們可以加上一條直線段 $C_1$：從原點 $(0, 0)$ 沿著 $x$ 軸延伸到 $(2, 0)$。
   • 此時，閉合曲線 $C^* = C_1 + C$ 圍成的區域 $D$ 是一個圓心角為 $\pi/3$、半徑為 $2$ 的扇形區域，且其邊界方向為逆時針（正方向）。
4. 第二步：套用格林定理： $\oint_{C^*} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}A = \iint_{D} 5 \,\mathrm{d}A = 5 \cdot \text{Area}(D)$
   • 扇形面積為： $\text{Area}(D) = \frac{1}{2} R^2 \theta = \frac{1}{2} (2^2) \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{2\pi}{3}$。
   • 因此閉合線積分值為 $\frac{10\pi}{3}$。
5. 第三步：減去輔助路徑 $C_1$ 上的積分：
   • 根據路徑相加性： $\int_C = \oint_{C^*} - \int_{C_1}$。
   • 我們只需單獨計算在 $x$ 軸上的積分 $\int_{C_1}$，將兩者相減即可得出結果。

我們將向量場 $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$ 的兩個分量寫出：

計算其偏導數與旋度差：

第一步：利用輔助直線建構閉合路徑

我們令 $C_1$ 為自原點 $(0, 0)$ 沿 $x$ 軸至點 $(2, 0)$ 的直線路徑。 結合原路徑 $C$（從 $(2, 0)$ 經圓弧至 $(1, \sqrt{3})$，再沿直線至 $(0, 0)$），我們得到一個逆時針方向的閉合曲線：

閉合曲線 $C^*$ 所包圍的平面區域 $D$ 是一個扇形。該扇形的半徑為 $R = 2$，因為直線段連接原點與 $(1, \sqrt{3})$，其傾角為：

根據格林定理，閉合路徑的線積分為：

扇形區域 $D$ 的面積為：

因此：

第二步：計算輔助路徑 $C_1$ 上的線積分

對於路徑 $C_1$，我們參數化如下：

將其代入向量場在 $C_1$ 上的線積分：

第三步：求得原路徑的線積分

利用線積分的路徑可加性，並結合式 (3) 與 (4)：

結論： 線積分值為 $\displaystyle \frac{10\pi}{3} - e^2 + 1$。