1. 本題給出一個累次二重積分，其被積函數為 $\sqrt{x^2+y^2}$。積分上限 $y = \sqrt{x-x^2}$ 是一個含有圓弧邊界的區域，這高度暗示我們使用極座標變換。
2. 第一步：分析積分區域 $D$：
   • 範圍為 $0 \le x \le 1$，$0 \le y \le \sqrt{x-x^2}$。
   • 將 $y$ 的上限平方整理： $y^2 = x - x^2 \implies x^2 + y^2 = x$ 這是一個以 $(1/2, 0)$ 為圓心、 $1/2$ 為半徑的圓，且 $y \ge 0$ 表示其上半圓。
3. 第二步：轉換至極座標：
   • 直角座標與極座標關係： $x^2+y^2 = r^2$，且 $x = r\cos\theta$。
   • 邊界圓方程式化為： $r^2 = r\cos\theta \implies r = \cos\theta$。
   • 由於區域位於第一象限且被該圓限制，極角範圍為 $\theta \in [0, \pi/2]$，極徑範圍為 $r \in [0, \cos\theta]$。
   • 被積函數為 $\sqrt{x^2+y^2} = r$，雅可比微元為 $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$。
4. 第三步：進行積分計算： $I = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\cos\theta} r \cdot r \,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \int_{0}^{\pi/2} \left[ \frac{1}{3}r^3 \right]_{0}^{\cos\theta} \mathrm{d}\theta = \frac{1}{3} \int_{0}^{\pi/2} \cos^3\theta \,\mathrm{d}\theta$ 利用題目提示的餘弦三倍角降次公式，將其化簡並計算定積分。

第一步：分析並描述積分區域

直角座標下的積分累次限為：

我們分析區域 $D$ 的邊界曲線：

這是一個以 $(1/2, 0)$ 為圓心， $1/2$ 為半徑之圓的 Upper Half。

第二步：將積分區域與被積函數轉換至極座標

我們引入極座標代換：

邊界圓方程式在極座標下為：

由於 $x$ 在 $[0, 1]$ 且 $y \ge 0$，此區域完全落在第一象限內。對應的極角與極徑範圍為：

第三步：計算定積分

將被積函數 $\sqrt{x^2+y^2} = r$ 代入極座標積分式中：

利用題目提示的公式 $\cos^3\theta = \frac{\cos 3\theta + 3\cos\theta}{4}$ 進行降次：

代入特殊三角正弦值（$\sin\frac{3\pi}{2} = -1$ 且 $\sin\frac{\pi}{2} = 1$）：

結論： 積分值為 $\displaystyle \frac{2}{9}$。