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114 台綜大微積分 C 第 7 題

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114學年度 · 114微積分C · 第 7 題

題目

Problem

Find all the saddle point(s) of

f(x,y)=ey(y2−x2).f(x, y) = e^y (y^2 - x^2).

(7) 鞍點座標為 見解答‾\underline{\quad\text{見解答}\quad}. (10%)

解答

解法一

思路

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  1. 本題要求尋找多元函數 f(x,y)=ey(y2−x2)f(x, y) = e^y (y^2 - x^2) 的所有鞍點 (Saddle Points)。
  2. 第一步：尋找臨界點：
    • 我們計算一階偏導數並令其為 00：
      • fx=−2xey=0  ⟹  x=0f_x = -2x e^y = 0 \implies x = 0 (因為 ey≠0e^y \neq 0)
      • fy=ey(y2−x2)+ey(2y)=ey(y2−x2+2y)=0f_y = e^y(y^2 - x^2) + e^y(2y) = e^y(y^2 - x^2 + 2y) = 0
    • 將 x=0x=0 代入 fy=0f_y = 0： ey(y2+2y)=0  ⟹  y(y+2)=0  ⟹  y=0 或 y=−2e^y(y^2 + 2y) = 0 \implies y(y+2) = 0 \implies y = 0 \text{ 或 } y = -2
    • 由此可得兩個臨界點： P1(0,0)P_1(0, 0) 與 P2(0,−2)P_2(0, -2)。
  3. 第二步：利用二階導數審斂法判別極值性質：
    • 計算二階偏導數 fxxf_{xx}、 fxyf_{xy}、 fyyf_{yy}：
      • fxx=−2eyf_{xx} = -2e^y
      • fxy=−2xeyf_{xy} = -2xe^y
      • fyy=ey(y2−x2+4y+2)f_{yy} = e^y(y^2 - x^2 + 4y + 2)
    • 計算判別式 D=fxxfyy−fxy2D = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2：
      • 若 D<0D < 0，則該點為鞍點。
      • 若 D>0D > 0，則該點為局部極值點（ fxx<0f_{xx} < 0 為極大， fxx>0f_{xx} > 0 為極小）。

答題過程

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第一步：尋找臨界點

我們對函數 f(x,y)=ey(y2−x2)f(x, y) = e^y (y^2 - x^2) 求一階偏導：

fx(x,y)=−2xeyf_x(x, y) = -2x e^y fy(x,y)=ey⋅(y2−x2)+ey⋅(2y)=ey(y2−x2+2y)f_y(x, y) = e^y \cdot (y^2 - x^2) + e^y \cdot (2y) = e^y \left( y^2 - x^2 + 2y \right)

令一階偏導皆為 00 以求解臨界點：

{−2xey=0— (1)ey(y2−x2+2y)=0— (2)\begin{align*} \begin{cases} -2x e^y = 0 & \text{--- (1)} \\[2mm] e^y \left( y^2 - x^2 + 2y \right) = 0 & \text{--- (2)} \end{cases} \end{align*}

由於對於任意實數 yy，指數項 ey>0e^y > 0 恆成立：

  • 由式 (1) 得到 x=0x = 0。
  • 將 x=0x = 0 代入式 (2)： ey(y2+2y)=0  ⟹  y(y+2)=0  ⟹  y=0或y=−2e^y \left( y^2 + 2y \right) = 0 \implies y(y+2) = 0 \implies y = 0 \quad \text{或} \quad y = -2
因此，函數共有兩個臨界點，分別為： 因此，函數共有兩個臨界點，分別為：

P_1(0, 0) \quad \text{與} \quad P_2(0, -2)

−−−∗∗第二步：計算二階偏導與判別式∗∗我們對一階偏微再次微分，求得二階偏導： --- **第二步：計算二階偏導與判別式** 我們對一階偏微再次微分，求得二階偏導：

f_{xx}(x, y) = -2e^y

f_{xy}(x, y) = -2xe^y

f_{yy}(x, y) = e^y \left( y^2 - x^2 + 2y \right) + e^y(2y + 2) = e^y \left( y^2 - x^2 + 4y + 2 \right)

二階導數判別式為： 二階導數判別式為：

D(x, y) = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2

接下來我們分別對兩個臨界點進行性質判別： 1. **對於點 $P_1(0, 0)$**： 將坐標代入二階偏導數： * $f_{xx}(0, 0) = -2e^0 = -2$ * $f_{xy}(0, 0) = 0$ * $f_{yy}(0, 0) = e^0 (0 - 0 + 0 + 2) = 2$ 計算判別式：

D(0, 0) = (-2)(2) - 0^2 = -4

因為 $D(0, 0) < 0$，所以臨界點 $(0, 0)$ 是函數的一個**鞍點**。 2. **對於點 $P_2(0, -2)$**： 將坐標代入二階偏導數： * $f_{xx}(0, -2) = -2e^{-2}$ * $f_{xy}(0, -2) = 0$ * $f_{yy}(0, -2) = e^{-2} \big( (-2)^2 - 0 + 4(-2) + 2 \big) = e^{-2}(4 - 8 + 2) = -2e^{-2}$ 計算判別式：

D(0, -2) = \left(-2e^{-2}\right)\left(-2e^{-2}\right) - 0^2 = 4e^{-4} > 0

因為 $D(0, -2) > 0$，且此時二階偏導 $f_{xx}(0, -2) = -2e^{-2} < 0$，所以臨界點 $(0, -2)$ 是函數的**局部極大值點**（而非鞍點）。 **結論：** 函數唯一的鞍點座標為 $(0, 0)$。 </details>