1. 本題要求橢球 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} + z^2 = 1$ 的內接長方體（各邊平行於座標軸）的最大體積。
2. 設長方體在第一卦限（第一象限的 3D 版， $x, y, z > 0$）的頂點坐標為 $(x, y, z)$。 則長方體的邊長分別為 $2x, 2y, 2z$，其體積為： $V = 8xyz$
3. 套用算幾不等式 (AM-GM Inequality)： 約束條件為三個正數之和： $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} + z^2 = 1$。 根據算幾不等式： $\frac{\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} + z^2}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{x^2}{9} \cdot \frac{y^2}{4} \cdot z^2}$ 代入條件得： $\frac{1}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{x^2 y^2 z^2}{36}}$
4. 兩邊同時立方並整理，即可極速求得 $xyz$ 的上限，進而求出最大體積。

設內接長方體在第一卦限的頂點坐標為 $(x, y, z)$，其中 $x > 0, y > 0, z > 0$。 由於長方體的各邊與座標軸平行，長方體的長、寬、高分別為 $2x, 2y, 2z$。其體積 $V$ 表示為：

頂點 $(x, y, z)$ 落在橢球面上，需滿足約束條件：

我們對三個正數 $\frac{x^2}{9}, \frac{y^2}{4}, z^2$ 使用算幾不等式（算術平均數大於或等於幾何平均數）：

將約束條件的值 $1$ 代入左側：

對不等式兩邊同時進行三次方：

整理並求解 $x^2 y^2 z^2$ 的上限：

由於 $x, y, z > 0$，兩邊取正平方根：

因此，長方體的最大體積 $V_{\max}$ 為：

等號成立條件： 當且僅當 $\frac{x^2}{9} = \frac{y^2}{4} = z^2 = \frac{1}{3}$ 時，等號成立。此時：

結論： 內接長方體的最大體積為 $\displaystyle \frac{16\sqrt{3}}{3}$（或寫成 $\displaystyle \frac{16}{\sqrt{3}}$）。