1. 函數 $f$ 在點 $P$ 沿方向 $\mathbf{u}$ 的變化率即為方向導數 (Directional Derivative)。
2. 因為 $\mathbf{u}$ 被給定為單位向量，其方向導數可由梯度向量與方向向量的內積給出： $D_{\mathbf{u}} f(P) = \nabla f(P) \cdot \mathbf{u} = 0$
3. 第一步：求偏微與梯度：
   • $f_x = 2e^y - \sin z$
   • $f_y = 2xe^y$
   • $f_z = -x\cos z$ 將點 $P(1, 0, 0)$ 代入，求得 $\nabla f(P) = \langle 2, 2, -1 \rangle$。
4. 第二步：利用內積為 0 求解： $\nabla f(P) \cdot \mathbf{u} = \langle 2, 2, -1 \rangle \cdot \langle a, 0, b \rangle = 2a - b = 0 \implies b = 2a$
5. 第三步：利用單位向量長度為 1 限制：
   • $a^2 + 0^2 + b^2 = 1 \implies a^2 + 4a^2 = 1 \implies 5a^2 = 1$。
   • 已知 $a > 0$，所以 $a = \frac{1}{\sqrt{5}}$。進而求出 $b = \frac{2}{\sqrt{5}}$。

第一步：計算函數在 $P(1, 0, 0)$ 處的梯度

我們對函數 $f(x, y, z) = 2xe^y - x\sin z$ 計算偏導數：

將點 $P(1, 0, 0)$ 代入三個偏導：

因此，在點 $P$ 處的梯度向量為：

第二步：求方向導數並建立聯立方程

方向導數為梯度向量與單位向量 $\mathbf{u} = \langle a, 0, b \rangle$ 的內積。依題意，變化率為 $0$：

展開內積：

由於 $\mathbf{u} = \langle a, 0, b \rangle$ 為單位向量，其模長必須為 $1$：

將式 (1) 代入式 (2)：

由於題目給定條件 $a > 0$，我們取正平方根：

將其代回式 (1)，求得 $b$：

結論： $a = \frac{1}{\sqrt{5}}, \quad b = \frac{2}{\sqrt{5}}$。