1. 本題是典型的相關變率 (Related Rates) 問題。
2. 兩質點 $A, B$ 從同一點出發，沿著夾角為 $\pi/6$ 的兩條射線運動。
3. 設時間為 $t$：
   • 質點 $A$ 的路程為 $x(t) = 2t$。其速度為 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2$。
   • 質點 $B$ 的路程為 $y(t) = 6t$。其速度為 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 6$。
4. 設兩質點之間的距離為 $D(t)$。根據餘弦定理 (Law of Cosines)： $D^2 = x^2 + y^2 - 2xy \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = x^2 + y^2 - \sqrt{3}xy$
5. 我們可以對等式兩邊關於 $t$ 求導以獲得 $\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}$。
6. 極速代數技巧： 直接將 $x=2t$ 且 $y=6t$ 代入餘弦定理中，可以寫出 $D(t)$ 作為 $t$ 的一次函數： $D^2(t) = (2t)^2 + (6t)^2 - \sqrt{3}(2t)(6t) = (40 - 12\sqrt{3})t^2$ 取根號後（因為 $t>0$）： $D(t) = t \sqrt{40 - 12\sqrt{3}}$ 這說明距離變化率 $\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t} = \sqrt{40 - 12\sqrt{3}}$ 是一個與時間無關的常數！不論 $A$ 距離起點多遠，變化率均相同。

設時間為 $t$。由於兩質點從原點出發且均作等速直線運動：

• 質點 $A$ 的移動距離為 $x = 2t$，其速度為 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2$。
• 質點 $B$ 的移動距離為 $y = 6t$，其速度為 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = 6$。

我們利用餘弦定理計算兩質點之間的直線距離 $D$。由於其軌跡夾角為 $\theta = \frac{\pi}{6}$：

代入 $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$：

當質點 $A$ 距離起點 $1$ 單位時：

此時，質點 $B$ 的距離為：

代入式 (1) 計算此時的距離 $D$：

對式 (1) 兩邊關於時間 $t$ 進行隱函數求導：

兩邊同除以 $2$ 整理：

將 $x=1, y=3, D = \sqrt{10 - 3\sqrt{3}}$ 以及 $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=2, \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=6$ 代入上式：

結論： 距離變化率為 $2\sqrt{10 - 3\sqrt{3}}$。