1. 本題要求計算級數和 $S = \sum_{k=3}^{\infty} \frac{(k+1)(-1)^k}{k!}$。
2. 觀察分母的 $k!$ 與交錯項 $(-1)^k$，這讓我們聯想到指數函數 $e^x$ 在 $x=-1$ 處的泰勒展開式： $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \implies e^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!}$
3. 我們可以將分子 $k+1$ 拆開，將級數寫成兩個已知級數的和： $\frac{k+1}{k!} = \frac{k}{k!} + \frac{1}{k!} = \frac{1}{(k-1)!} + \frac{1}{k!}$
4. 這樣一來，原級數可拆分為兩部分： $S = \sum_{k=3}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k-1)!} + \sum_{k=3}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!}$
5. 計算第一部分： 我們令 $j = k - 1$，當 $k$ 從 $3$ 變到 $\infty$ 時， $j$ 從 $2$ 變到 $\infty$： $\sum_{k=3}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k-1)!} = \sum_{j=2}^{\infty} \frac{(-1)^{j+1}}{j!} = -\sum_{j=2}^{\infty} \frac{(-1)^j}{j!}$ 利用基本展開式： $\sum_{j=2}^{\infty} \frac{(-1)^j}{j!} = e^{-1} - \frac{(-1)^0}{0!} - \frac{(-1)^1}{1!} = e^{-1} - 1 - (-1) = e^{-1}$ 所以第一部分值為 $-e^{-1}$。
6. 計算第二部分： $\sum_{k=3}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} = e^{-1} - \frac{(-1)^0}{0!} - \frac{(-1)^1}{1!} - \frac{(-1)^2}{2!} = e^{-1} - 1 + 1 - \frac{1}{2} = e^{-1} - \frac{1}{2}$
7. 將兩部分相加，即可求得最簡化的常數值。

已知指數函數 $e^x$ 的麥克勞林展開式為：

將其帶入 $x = -1$：

現在，我們將待求級數的一般項進行拆分：

因此，原級數和可拆成兩個無窮級數之和：

我們分別計算這兩部分級數：

1. 計算第一部分級數： 我們引入變數代換，令 $j = k-1$。當 $k$ 從 $3$ 開始時， $j$ 從 $2$ 開始：

   $$\sum_{k=3}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(k-1)!} = \sum_{j=2}^{\infty} \frac{(-1)^{j+1}}{j!} = -\sum_{j=2}^{\infty} \frac{(-1)^j}{j!}$$

   根據式 (1) 的定義，從 $j=2$ 開始的級數和為：

   $$\sum_{j=2}^{\infty} \frac{(-1)^j}{j!} = e^{-1} - \left( \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} \right) = e^{-1} - (1 - 1) = e^{-1}$$

   故第一部分為：

   $$-\sum_{j=2}^{\infty} \frac{(-1)^j}{j!} = -e^{-1}$$

2. 計算第二部分級數： 根據式 (1) 的定義，從 $k=3$ 開始的級數和為：

   $$\sum_{k=3}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!} = e^{-1} - \left( \frac{(-1)^0}{0!} + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} \right) = e^{-1} - \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} \right) = e^{-1} - \frac{1}{2}$$

將這兩部分結果代回式 (2)：

結論： 級數和為 $-\frac{1}{2}$。