1. 本題要求尋找曲線 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 12$ 上的點 $(x_0, y_0)$，使得在該點處的法線斜率為 $1/3$。
2. 切線與法線關係：
   • 法線斜率與切線斜率（即導數 $y'$）互為負倒數關係： $m_{\text{normal}} \cdot y' = -1 \implies y' = -\frac{1}{m_{\text{normal}}}$
   • 已知法線斜率為 $1/3$，故在該點的切線斜率（導數）必須滿足： $y' = -3$
3. 隱函數求導：
   • 對曲線方程式 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 12$ 兩邊對 $x$ 微分： $\frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{2\sqrt{y}} y' = 0 \implies y' = -\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}$
4. 求解聯立方程：
   • 將 $y' = -3$ 代入求導結果： $-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = -3 \implies \sqrt{y} = 3\sqrt{x}$
   • 將此關係式代回原曲線方程式中，解出 $x$ 與 $y$。

首先，因為法線斜率為 $m = \frac{1}{3}$，且切線與法線互相垂直，故該點處的切線斜率（即導數 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$）為：

對曲線方程式 $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 12$ 兩邊關於 $x$ 求導：

整理以求解一階導數：

將 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -3$ 代入：

將式 (1) 代回原曲線方程式：

將 $\sqrt{x} = 3$ 平方，求得 $x_0$：

將 $\sqrt{x} = 3$ 代回式 (1)：

將其平方，求得 $y_0$：

經檢驗， $(9, 81)$ 滿足原方程式且變數皆為正值，因此為唯一解。

結論： 所求的點為 $(9, 81)$。