題目

Problem

Solve the following optimization problem using Lagrange multipliers:

f(x, y) = x^2 \quad \text{subject to } x + y = 1.

(9) 極值為 $\underline{\quad\text{見解答}\quad}$ . (10%)

解答

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本題要求在約束條件 $g(x, y) = x + y - 1 = 0$ 下，求目標函數 $f(x, y) = x^2$ 的極值。
題目指定使用拉格朗日乘子法 (Lagrange Multipliers)： $\nabla f = \lambda \nabla g \implies \langle 2x, 0 \rangle = \lambda \langle 1, 1 \rangle$
這給出方程組：
- $2x = \lambda$
- $0 = \lambda$
由此可直接解出 $\lambda = 0 \implies x = 0$ 。
將 $x=0$ 代回約束條件 $x+y=1 \implies y=1$ 。
因此極值點為 $(0, 1)$ ，其對應的極小值為 $f(0, 1) = 0$ 。因為對於所有實數 $x$ ， $x^2 \ge 0$ 恆成立，所以這顯然是最小值。

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我們令目標函數與約束條件分別為：

\begin{align*} f(x, y) =&\, x^2 \\[4mm] g(x, y) =&\, x + y - 1 = 0 \end{align*}

根據拉格朗日乘子法，我們設定梯度關係式：

\nabla f(x, y) = \lambda \nabla g(x, y)

這等價於求解以下聯立方程式：

\begin{align*} \begin{cases} 2x = \lambda \cdot 1 & \text{--- (1)} \\[2mm] 0 = \lambda \cdot 1 & \text{--- (2)} \\[2mm] x + y = 1 & \text{--- (3)} \end{cases} \end{align*}

由式 (2) 直接解得：

\lambda = 0

將 $\lambda = 0$ 代回式 (1)：

2x = 0 \implies x = 0

將 $x = 0$ 代回限制條件式 (3)：

0 + y = 1 \implies y = 1

因此，唯一的極值點座標為 $(x, y) = (0, 1)$ 。

將該點代入目標函數：

f(0, 1) = 0^2 = 0

由於目標函數 $f(x, y) = x^2 \ge 0$ 恆成立，此極值點 $0$ 確為函數的極小值（亦為全域最小值）。

結論： 極小值為 $0$ （發生在 $(0, 1)$ 處）。