1. 本題考查多元函數的梯度與方向導數性質。
2. 多元函數 $f(x, y)$ 在某一點處增加最快的方向即為該點處的梯度向量 $\nabla f$ 的方向。
3. 其對應的最大增加變化率即為該梯度向量的長度（模長，$\|\nabla f\|$）。
4. 第一步：求偏導數與梯度：
   • $f_x(x, y) = 1 + \cos(x+2y) \cdot (1) = 1 + \cos(x+2y)$
   • $f_y(x, y) = \cos(x+2y) \cdot (2) = 2\cos(x+2y)$
   • 將點 $(0, 0)$ 代入，求得 $\nabla f(0, 0) = \langle f_x(0,0), f_y(0,0) \rangle$。
5. 第二步：標準化為單位向量：
   • 單位向量 $\mathbf{u} = \frac{\nabla f(0,0)}{\|\nabla f(0,0)\|}$。
6. 變化率即為梯度長度 $\|\nabla f(0,0)\|$。

第一步：計算函數在 $(0, 0)$ 的梯度

我們對函數 $f(x, y) = x + \sin(x+2y)$ 求偏導數：

將點 $(x, y) = (0, 0)$ 代入偏導數中：

因此，在原點 $(0, 0)$ 的梯度向量為：

第二步：求最大增加方向的單位向量

函數增加最快的方向即為梯度的方向。我們計算其長度：

將其方向標準化，求出單位方向向量 $\mathbf{u}$：

第三步：求最大變化率

函數在該方向上的最大增加變化率即為梯度向量的模長：

結論：

• 單位向量為 $\left\langle \frac{1}{\sqrt{2}},\, \frac{1}{\sqrt{2}} \right\rangle$。
• 最大變化率為 $2\sqrt{2}$。