題目

Problem

Find the length $L$ of the space curve given by

x(t) = 3\cos\sqrt{t+1}, \quad y(t) = 3\sin\sqrt{t+1} \quad \text{and} \quad z(t) = 4\sqrt{t+1}

for $t=0$ to $1$ . (10%)

(7) $L = \underline{\quad\text{見解答}\quad}$ .

解答

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本題要求計算空間三維參數曲線在 $t \in [0, 1]$ 範圍內的弧長 $L$ 。
空間曲線弧長的標準公式為： $L = \int_{t_{\text{start}}}^{t_{\text{end}}} \sqrt{[x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 + [z'(t)]^2} \,\mathrm{d}t$
利用變數代換簡化計算：觀察參數式，三項都含有 $\sqrt{t+1}$ $t + 1$ 。為了避免複雜的微分連鎖律，我們可以先令新變數 $u = \sqrt{t+1}$ $u = t + 1$ 。
- 當 $t = 0 \implies u = 1$ 。
- 當 $t = 1 \implies u = \sqrt{2}$ 。空間曲線在新變數 $u$ 下簡化為： $x(u) = 3\cos u, \quad y(u) = 3\sin u, \quad z(u) = 4u$ 這是一個典型的圓柱螺旋線 (Circular Helix)！
對 $u$ 求導計算微元 $\mathrm{d}s$ ： $\mathrm{d}s = \sqrt{[x'(u)]^2 + [y'(u)]^2 + [z'(u)]^2} \,\mathrm{d}u = \sqrt{9\sin^2 u + 9\cos^2 u + 16} \,\mathrm{d}u = \sqrt{9+16} \,\mathrm{d}u = 5 \,\mathrm{d}u$
對 $u$ 從 $1$ 到 $\sqrt{2}$ 進行積分，即可極速求得弧長。

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我們引入變數代換，令：

u = \sqrt{t+1}

當參數 $t$ 從 $0$ 變化到 $1$ 時，新變數 $u$ 的變化範圍為：

原參數曲線可用新變數 $u \in [1, \sqrt{2}]$ 重新參數化為：

x(u) = 3\cos u, \quad y(u) = 3\sin u, \quad z(u) = 4u

對 $u$ 分別求一階導數：

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} = -3\sin u, \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} = 3\cos u, \quad \frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u} = 4

空間參數曲線的弧長公式為：

L = \int_{u_{\text{start}}}^{u_{\text{end}}} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\right)^2} \,\mathrm{d}u

將導數代入根式中進行化簡：

\begin{align*} \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\right)^2} =&\, \sqrt{(-3\sin u)^2 + (3\cos u)^2 + 4^2} \\[4mm] =&\, \sqrt{9\sin^2 u + 9\cos^2 u + 16} \\[4mm] =&\, \sqrt{9(\sin^2 u + \cos^2 u) + 16} \\[4mm] =&\, \sqrt{9(1) + 16} = \sqrt{25} = 5 \end{align*}

將簡化後的常數微元代回積分式：

L = \int_{1}^{\sqrt{2}} 5 \,\mathrm{d}u = \Big[ 5u \Big]_{1}^{\sqrt{2}} = 5(\sqrt{2} - 1)

結論： 空間曲線的弧長為 $5(\sqrt{2} - 1)$ 。