題目

Problem

Suppose that $x$ and $y$ satisfy the equation

y^3 - x^2 = 4.

Find $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$ and $\mathrm{d}^2 y/\mathrm{d}x^2$ when $(x, y) = (2, 2)$ . (10%)

(6) $\mathrm{d}y/\mathrm{d}x = \underline{\quad\text{見解答}\quad}$ ， $\mathrm{d}^2 y/\mathrm{d}x^2 = \underline{\quad\text{見解答}\quad}$ .

解答

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本題給出隱函數方程式 $y^3 - x^2 = 4$ ，要求計算在一點 $P(2, 2)$ 處的一階與二階導數值。
第一步：求一階導數 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ ：
- 對方程式 $y^3 - x^2 = 4$ 兩邊同時關於 $x$ 求導： $3y^2 y' - 2x = 0 \implies y' = \frac{2x}{3y^2}$
- 將點 $(2,2)$ 代入，即可求出此時的一階導數值。
第二步：求二階導數 $\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$ ：
- 我們對一階導函數 $y' = \frac{2x}{3y^2}$ 關於 $x$ 再次求導，套用商求導法則： $y'' = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{2x}{3y^2} \right) = \frac{(2) \cdot 3y^2 - (2x) \cdot (6y y')}{9y^4} = \frac{6y^2 - 12xy y'}{9y^4}$
- 為了計算簡便，可以直接將點 $(2,2)$ 與剛才求得的 $y'$ 數值代入化簡後的式子中。

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第一步：求一階導數

給定方程式：

y^3 - x^2 = 4

對兩邊同時關於 $x$ 求偏導（利用隱函數微分法與連鎖律）：

3y^2 \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} - 2x = 0

整理得：

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{2x}{3y^2} \quad \text{--- (1)}

將點 $(x, y) = (2, 2)$ 代入式 (1)：

\left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{(2,2)} = \frac{2(2)}{3(2)^2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}

第二步：求二階導數

對式 (1) 兩邊關於 $x$ 再次求導，利用商求導法則：

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} =&\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \frac{2x}{3y^2} \right) \\[4mm] =&\, \frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2x) \cdot 3y^2 - 2x \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3y^2)}{\left(3y^2\right)^2} \\[4mm] =&\, \frac{2 \cdot 3y^2 - 2x \cdot \left( 6y \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right)}{9y^4} \\[4mm] =&\, \frac{6y^2 - 12xy \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{9y^4} \quad \text{--- (2)} \end{align*}

將點 $(x, y) = (2, 2)$ 與一階導數值 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{3}$ 代入式 (2)：

\begin{align*} \left. \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} \right|_{(2,2)} =&\, \frac{6(2)^2 - 12(2)(2)\left( \frac{1}{3} \right)}{9(2)^4} \\[4mm] =&\, \frac{24 - 48 \left( \frac{1}{3} \right)}{9(16)} \\[4mm] =&\, \frac{24 - 16}{144} \\[4mm] =&\, \frac{8}{144} = \frac{1}{18} \end{align*}

結論：