1. 本題要求函數 $f(x) = \frac{2}{x}$ 在 $x=2$ 處的泰勒級數中， $(x-2)^{100}$ 項的係數 $a_{100}$。
2. 根據泰勒級數公式： $a_{100} = \frac{f^{(100)}(2)}{100!}$ 我們可以直接求高階導數，或者更快速地藉由代數變形套用幾何級數展開式。
3. 幾何級數代數法： 我們將自變數 $x$ 寫成含有 $(x-2)$ 的形式： $f(x) = \frac{2}{x} = \frac{2}{2 + (x-2)}$ 分子分母同除以 $2$ 湊成 $\frac{1}{1-u}$ 的形式： $f(x) = \frac{1}{1 - \left[ -\frac{x-2}{2} \right]}$
4. 利用幾何級數展開公式 $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$ （其中 $|u| < 1$）： $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \left( -\frac{x-2}{2} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2^n} (x-2)^n$
5. 對照係數，即可直接讀出 $a_n = \frac{(-1)^n}{2^n}$。代入 $n=100$ 即可求得結果。

我們將函數 $f(x) = \frac{2}{x}$ 進行代數整理，將其展開中心平移至 $x=2$：

將分母提取常數 $2$：

利用幾何級數的標準展開式 $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n$（在 $|u| < 1$ 時收斂），這裡令 $u = -\frac{x-2}{2}$：

此時級數收斂的範圍滿足：

將求得的展開式與題目給出的泰勒級數 $T = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-2)^n$ 進行對照，可得其一般項係數 $a_n$ 為：

要求第 $100$ 項的係數 $a_{100}$，代入 $n = 100$：

結論： $a_{100} = \frac{1}{2^{100}}$。