題目

Problem

Evaluate the following definite integral:

\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} \,\mathrm{d}x = \underline{\quad\text{見解答}\quad}. \quad (10\%) (4) $\underline{\quad\text{見解答}\quad}$.

解答

展開

本題要求計算含有根式 $\sqrt{x^2+a^2}$ 的定積分，此處 $a = \sqrt{3}$ 。
這是最經典的三角代換法 (Trigonometric Substitution)：
- 當遇到 $\sqrt{x^2+a^2}$ 時，令 $x = a \tan\theta$ 。
- 此處令 $x = \sqrt{3}\tan\theta \implies \mathrm{d}x = \sqrt{3}\sec^2\theta \,\mathrm{d}\theta$ 。
根式部分簡化為： $\sqrt{x^2+3} = \sqrt{3\tan^2\theta + 3} = \sqrt{3}\sec\theta$
積分項化為： $\int \frac{1}{\sqrt{3}\sec\theta} \cdot \sqrt{3}\sec^2\theta \,\mathrm{d}\theta = \int \sec\theta \,\mathrm{d}\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|$
對應變更積分上下限，代入求值。

展開

我們使用三角代換法，令：

x = \sqrt{3}\tan\theta \implies \mathrm{d}x = \sqrt{3}\sec^2\theta \,\mathrm{d}\theta

同時轉換積分上下限：

當 $x = 0 \implies \sqrt{3}\tan\theta = 0 \implies \theta = 0$
當 $x = 1 \implies \sqrt{3}\tan\theta = 1 \implies \tan\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies \theta = \frac{\pi}{6}$

將變數代入根式：

\sqrt{x^2 + 3} = \sqrt{3\tan^2\theta + 3} = \sqrt{3}\sqrt{\tan^2\theta + 1} = \sqrt{3}\sec\theta

代回原定積分中：

\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} \,\mathrm{d}x =&\, \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{1}{\sqrt{3}\sec\theta} \cdot \left( \sqrt{3}\sec^2\theta \,\mathrm{d}\theta \right) \\[4mm] =&\, \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \sec\theta \,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, \Big[ \ln|\sec\theta + \tan\theta| \Big]_{0}^{\frac{\pi}{6}} \\[4mm] =&\, \ln\left| \sec\left(\frac{\pi}{6}\right) + \tan\left(\frac{\pi}{6}\right) \right| - \ln\left| \sec(0) + \tan(0) \right| \end{align*}

代入特殊三角函數值（ $\sec\frac{\pi}{6} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ ， $\tan\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ； $\sec 0 = 1$ ， $\tan 0 = 0$ ）：

\begin{align*} \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}} \,\mathrm{d}x =&\, \ln\left| \frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \right| - \ln|1 + 0| \\[4mm] =&\, \ln\left| \frac{3}{\sqrt{3}} \right| - 0 \\[4mm] =&\, \ln\left| \sqrt{3} \right| = \ln\left( 3^{\frac{1}{2}} \right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{2}\ln 3 \end{align*}

結論： 定積分值為 $\displaystyle \frac{1}{2}\ln 3$ 。