題目

Problem

Evaluate the following definite integral:

\int_{0}^{1} x e^{2x} \,\mathrm{d}x = \underline{\quad\text{見解答}\quad}. \quad (10\%)

(3) $\underline{\quad\text{見解答}\quad}$ .

解答

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本題要求計算 $\int_0^1 x e^{2x} \,\mathrm{d}x$ 。
被積函數是代數函數 $x$ 與指數函數 $e^{2x}$ 的乘積。這是典型的分部積分法 (Integration by Parts) 適用類型。
分部積分公式為： $\int u \,\mathrm{d}v = uv - \int v \,\mathrm{d}u$ $\int u d v = uv - \int v d u$
- 我們依據 “LIATE” 原則選取：令 $u = x \implies \mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ 令 $\mathrm{d}v = e^{2x} \,\mathrm{d}x \implies v = \frac{1}{2} e^{2x}$
套用公式進行不定積分，隨後代入積分上下限 $[0, 1]$ 求出數值。

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我們使用分部積分法：令：

u = x \implies \mathrm{d}u = \mathrm{d}x

\mathrm{d}v = e^{2x} \,\mathrm{d}x \implies v = \frac{1}{2} e^{2x}

套用分部積分公式：

\begin{align*} \int x e^{2x} \,\mathrm{d}x =&\, u \cdot v - \int v \,\mathrm{d}u \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} x e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} + C \end{align*}

將其帶入定積分上下限從 $0$ 到 $1$ ：

\begin{align*} \int_{0}^{1} x e^{2x} \,\mathrm{d}x =&\, \left[ \frac{1}{2} x e^{2x} - \frac{1}{4} e^{2x} \right]_{0}^{1} \\[4mm] =&\, \left( \frac{1}{2}(1) e^{2} - \frac{1}{4} e^{2} \right) - \left( \frac{1}{2}(0) e^{0} - \frac{1}{4} e^{0} \right) \\[4mm] =&\, \left( \frac{1}{2} e^2 - \frac{1}{4} e^2 \right) - \left( 0 - \frac{1}{4} \right) \\[4mm] =&\, \frac{1}{4} e^2 + \frac{1}{4} \\[4mm] =&\, \frac{e^2 + 1}{4} \end{align*}

結論： 定積分值為 $\displaystyle \frac{e^2 + 1}{4}$ 。