1. 本題要求連續函數 $f(x)$ 在閉區間 $[1, 5]$ 上的絕對最大值與絕對最小值。
2. 根據閉區間極值定理，極值只可能出現在區間端點（$x=1$ 與 $x=5$）或區間內的臨界點（滿足 $f'(x) = 0$ 或導數不存在的點）。
3. 第一步：簡化函數並求導：
   • 將函數寫成單項冪之和形式，以便於求導： $f(x) = \frac{x^2}{x^3} - \frac{3}{x^3} = x^{-1} - 3x^{-3}$
   • 微分得： $f'(x) = -x^{-2} + 9x^{-4} = -\frac{1}{x^2} + \frac{9}{x^4} = \frac{9 - x^2}{x^4}$
4. 第二步：尋找臨界點： 令 $f'(x) = 0 \implies 9 - x^2 = 0 \implies x^2 = 9 \implies x = \pm 3$。 因為我們的定義域限制在 $[1, 5]$ 內，所以唯一合理的臨界點是 $x = 3$。
5. 第三步：比較各點函數值： 我們計算並比較三個候選點的函數值： $f(1)$、 $f(3)$ 與 $f(5)$。 最大值即為絕對最大值，最小值即為絕對最小值。

首先，將函數簡化以方便求導：

對 $f(x)$ 求導：

我們尋找區間 $(1, 5)$ 內的臨界點，令 $f'(x) = 0$：

因為在整個區間內分母 $x^4 > 0$，所以 $x=3$ 是區間內唯一的臨界點。

接下來，我們分別計算區間端點與臨界點的函數值：

1. 左端點 $x = 1$： $$f(1) = \frac{1^2 - 3}{1^3} = \frac{-2}{1} = -2$$
2. 臨界點 $x = 3$： $$f(3) = \frac{3^2 - 3}{3^3} = \frac{9 - 3}{27} = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}$$
3. 右端點 $x = 5$： $$f(5) = \frac{5^2 - 3}{5^3} = \frac{25 - 3}{125} = \frac{22}{125}$$

數值大小比較： 我們對這三個數值進行大小比較：

• $\displaystyle -2 < 0$ 顯然為最小。
• 比較 $\frac{2}{9}$ 與 $\frac{22}{125}$： 因為 $\frac{2}{9} = \frac{2 \times 125}{1125} = \frac{250}{1125}$ 且 $\frac{22}{125} = \frac{22 \times 9}{1125} = \frac{198}{1125}$。 顯然 $\frac{250}{1125} > \frac{198}{1125} \implies \frac{2}{9} > \frac{22}{125}$。

因此，最大值為 $\frac{2}{9}$（發生在 $x = 3$ 處），最小值為 $-2$（發生在 $x = 1$ 處）。

結論：

• 絕對最大值為 $\frac{2}{9}$。
• 絕對最小值為 $-2$。