題目

Problem

Evaluate the double integral

\iint_{R} (x + y) \,\mathrm{d}A,

where $R$ is the region bounded by $y = x$ and $y = x^2$ . (10%)

(10) 積分值為 $\underline{\quad\text{見解答}\quad}$ .

解答

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本題要求計算二重積分，其積分區域 $R$ 由直線 $y = x$ 與拋物線 $y = x^2$ 所圍成。
第一步：求交點以確定積分範圍：
- 令 $x^2 = x \implies x(x-1) = 0 \implies x = 0$ 或 $x = 1$ 。
- 對應的交點為 $(0,0)$ 與 $(1,1)$ 。
- 在區間 $x \in [0, 1]$ 內，直線位於拋物線上方，即 $x^2 \le y \le x$ 。
第二步：列出累次積分式：我們將其寫為 $y$ -型（Type I）區域： $\iint_{R} (x+y) \,\mathrm{d}A = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} (x+y) \,\mathrm{d}y\mathrm{d}x$
先內層積 $y$ ，再外層積 $x$ 求出數值。

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第一步：確定積分區域的邊界範圍

我們求出邊界曲線 $y = x$ 與 $y = x^2$ 的交點：

x^2 = x \implies x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0 \implies x = 0 \quad \text{或} \quad x = 1

對應的交點坐標為 $(0, 0)$ 與 $(1, 1)$ 。

在區間 $x \in [0, 1]$ 內，直線 $y=x$ 恆在拋物線 $y=x^2$ 的上方，即：

x^2 \le y \le x

第二步：計算累次積分

我們將二重積分展開為累次積分式：

I = \iint_{R} (x + y) \,\mathrm{d}A = \int_{0}^{1} \int_{x^2}^{x} (x + y) \,\mathrm{d}y\mathrm{d}x

先對內層關於 $y$ 進行積分：

\begin{align*} \int_{x^2}^{x} (x+y) \,\mathrm{d}y =&\, \left[ xy + \frac{1}{2}y^2 \right]_{y=x^2}^{y=x} \\[4mm] =&\, \left( x(x) + \frac{1}{2}x^2 \right) - \left( x\left(x^2\right) + \frac{1}{2}\left(x^2\right)^2 \right) \\[4mm] =&\, \left( x^2 + \frac{1}{2}x^2 \right) - \left( x^3 + \frac{1}{2}x^4 \right) \\[4mm] =&\, \frac{3}{2}x^2 - x^3 - \frac{1}{2}x^4 \end{align*}

接著對外層關於 $x$ 進行定積分：

\begin{align*} I =&\, \int_{0}^{1} \left( \frac{3}{2}x^2 - x^3 - \frac{1}{2}x^4 \right) \mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \left[ \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{4}x^4 - \frac{1}{10}x^5 \right]_{0}^{1} \\[4mm] =&\, \left( \frac{1}{2}(1)^3 - \frac{1}{4}(1)^4 - \frac{1}{10}(1)^5 \right) - (0) \\[4mm] =&\, \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \frac{1}{10} \\[4mm] =&\, \frac{10 - 5 - 2}{20} = \frac{3}{20} \end{align*}

結論： 二重積分值為 $\displaystyle \frac{3}{20}$ 。