題目

Problem

Let $g(x)$ be the function

g(x) = e^{x^{-2}}.

Compute $g'(1)$ and $g''(1)$ . (10%)

(1) $g'(1) = \underline{\quad\text{見解答}\quad}$ , $g''(1) = \underline{\quad\text{見解答}\quad}$ .

解答

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求 $g'(1)$ ：
- 給定 $g(x) = e^{x^{-2}}$ ，這是一個複合函數，我們利用連鎖律 (Chain Rule) 來求導： $g'(x) = e^{x^{-2}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (x^{-2})$
- 因為 $(x^{-2})' = -2x^{-3}$ ，所以： $g'(x) = -2x^{-3} e^{x^{-2}}$
- 將 $x=1$ 代入即可求得 $g'(1)$ 。
求 $g''(1)$ ：
- 對一階導函數 $g'(x) = -2x^{-3} e^{x^{-2}}$ 再次求導，我們需要使用乘積求導法則 (Product Rule) 與連鎖律： $g''(x) = \left( -2x^{-3} \right)' e^{x^{-2}} + \left( -2x^{-3} \right) \left( e^{x^{-2}} \right)'$
- 計算並化簡後，代入 $x=1$ 即可求得 $g''(1)$ 。

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1. 計算 $g'(1)$

已知函數 $g(x) = e^{x^{-2}}$ 。利用連鎖律求導：

g'(x) = e^{x^{-2}} \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( x^{-2} \right) = e^{x^{-2}} \cdot \left( -2x^{-3} \right) = -2x^{-3} e^{x^{-2}}

將 $x = 1$ 代入：

g'(1) = -2(1)^{-3} e^{1^{-2}} = -2 \cdot 1 \cdot e^1 = -2e

2. 計算 $g''(1)$

對 $g'(x) = -2x^{-3} e^{x^{-2}}$ 利用乘積求導法則進行二次微分：

\begin{align*} g''(x) =&\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( -2x^{-3} \right) \cdot e^{x^{-2}} + \left( -2x^{-3} \right) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( e^{x^{-2}} \right) \\[4mm] =&\, \left( 6x^{-4} \right) e^{x^{-2}} + \left( -2x^{-3} \right) \left( -2x^{-3} e^{x^{-2}} \right) \\[4mm] =&\, 6x^{-4} e^{x^{-2}} + 4x^{-6} e^{x^{-2}} \\[4mm] =&\, \left( 6x^{-4} + 4x^{-6} \right) e^{x^{-2}} \end{align*}

將 $x = 1$ 代入二階導函數：

g''(1) = \left( 6(1)^{-4} + 4(1)^{-6} \right) e^{1^{-2}} = (6 + 4)e^1 = 10e

結論：