1. 本題要求尋找從原點到二次曲線 $9x^2 + 16xy + 21y^2 = 125$ 的最短與最長距離。
2. 設曲線上的點為 $(x, y)$，則其到原點的距離平方為： $f(x, y) = x^2 + y^2$ 約束條件為： $g(x, y) = 9x^2 + 16xy + 21y^2 = 125$
3. 拉格朗日乘子設定： $\nabla f = \lambda \nabla g \implies \langle 2x, 2y \rangle = \lambda \langle 18x+16y, 16x+42y \rangle$ 簡化後為： $\begin{cases} x = \lambda(9x + 8y) \\ y = \lambda(8x + 21y) \end{cases}$
4. 將上述方程組以矩陣形式表示（令 $\mu = 1/\lambda$）： $\begin{pmatrix} 9 & 8 \\ 8 & 21 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \mu \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 這是一個特徵值問題！特徵值 $\mu$ 對應二次型的拉格朗日乘子倒數。
5. 求特徵值與極值的關係： 將上述兩方程式同乘以變數湊出 $x^2+y^2$ 與約束關係： $x^2+y^2 = \lambda(9x^2+16xy+21y^2) = 125\lambda = \frac{125}{\mu}$ 這代表距離平方 $d^2 = \frac{125}{\mu}$。
   • 特徵值 $\mu$ 的最大值將對應最短距離。
   • 特徵值 $\mu$ 的最小值將對應最長距離。
6. 計算矩陣特徵值，即可極速求得最短與最長距離。

我們設定目標函數（距離平方）與限制條件分別為：

依拉格朗日乘子法，我們設定偏微分方程組：

這給出以下方程組：

將式 (1) 與 式 (2) 同除以 $2$：

將式 (3) 同乘以 $x$，式 (4) 同乘以 $y$，然後兩式相加：

將約束條件 $g(x,y) = 125$ 代入右側：

現在我們求解方程組。由式 (3) 與 (4) 可將其寫為矩陣特徵值形式，令 $\mu = \frac{1}{\lambda}$（此處顯然 $\lambda \neq 0$）：

我們求解該矩陣的特徵多項式以尋找特徵值 $\mu$：

解得兩個特徵值為：

這對應兩個乘子 $\lambda = \frac{1}{\mu}$：

1. 當 $\mu_1 = 25$ 時（此時 $\lambda = \frac{1}{25}$）： 代入式 (5)，距離平方為：

   $$d^2 = x^2 + y^2 = 125 \left( \frac{1}{25} \right) = 5$$

   故最短距離為：

   $$d_{\min} = \sqrt{5}$$

2. 當 $\mu_2 = 5$ 時（此時 $\lambda = \frac{1}{5}$）： 代入式 (5)，距離平方為：

   $$d^2 = x^2 + y^2 = 125 \left( \frac{1}{5} \right) = 25$$

   故最長距離為：

   $$d_{\max} = \sqrt{25} = 5$$

結論：

• 最短距離為 $\sqrt{5}$。
• 最長距離為 $5$。