1. 本題給出兩曲面相交而成的空間曲線 $C$，要求其在點 $P(2, 3, -4)$ 處的切線方程式參數。
2. 空間曲線在點 $P$ 的切線方向向量 $\mathbf{T}$ 必須同時垂直於兩曲面在該點處的法向量。
3. 我們令兩曲面的隱函數表達式分別為：
   • $F_1(x, y, z) = xy + yz + zx + 14 = 0$
   • $F_2(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 29 = 0$
4. 曲面在點 $P$ 的法向量為梯度的數值：
   • $\mathbf{n}_1 = \nabla F_1(P)$
   • $\mathbf{n}_2 = \nabla F_2(P)$
5. 利用向量外積 (Cross Product) 求出同時垂直於 $\mathbf{n}_1$ 與 $\mathbf{n}_2$ 的向量作為切線方向向量 $\mathbf{T}$： $\mathbf{T} \parallel \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2$
6. 將求得的方向向量與題目給出的切線比例式 $\frac{x-2}{a} = \frac{y-3}{b} = \frac{z+4}{1}$ 進行係數比對，即可求得 $a, b$。

第一步：計算兩曲面在 $P(2, 3, -4)$ 處的法向量

我們將曲面方程式寫為隱函數形式：

1. 令 $F_1(x, y, z) = xy + yz + zx + 14 = 0$。對其求偏導數得梯度向量：

   $$\nabla F_1(x, y, z) = \langle y+z,\, x+z,\, x+y \rangle$$

   將點 $P(2, 3, -4)$ 代入：

   $$\mathbf{n}_1 = \nabla F_1(2, 3, -4) = \langle 3-4,\, 2-4,\, 2+3 \rangle = \langle -1,\, -2,\, 5 \rangle$$

2. 令 $F_2(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 29 = 0$。對其求偏導數得梯度向量：

   $$\nabla F_2(x, y, z) = \langle 2x,\, 2y,\, 2z \rangle$$

   將點 $P(2, 3, -4)$ 代入：

   $$\nabla F_2(2, 3, -4) = \langle 4,\, 6,\, -8 \rangle$$

   為了簡化外積計算，我們可以使用與其平行的向量作為法向量：

   $$\mathbf{n}_2 = \langle 2,\, 3,\, -4 \rangle$$

第二步：計算切線方向向量

空間曲線的切線方向 $\mathbf{T}$ 應與兩曲面法向量的外積平行：

第三步：與切線方程進行比對

已知切線通過點 $(2, 3, -4)$，且其切線比例式為：

這說明切線的方向向量可以表示為 $\langle a, b, 1 \rangle$。 對照我們求得的方向向量 $\langle -7, 6, 1 \rangle$，其 $z$ 分量恰好同為 $1$，故可直接比對出：

結論： $a = -7, \quad b = 6$。