本題分為兩個子問題：第一是求極座標曲線的切線斜率，第二是計算極座標曲線的弧長。

1. 第一部分：求 $\theta = \pi/4$ 處的切線斜率

   • 極座標與直角座標的轉換公式為： $x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta$
   • 切線斜率為 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$，利用參數求導： $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta}$
   • 給定 $r = e^{2\theta} \implies r' = 2e^{2\theta}$。
   • 將其代入斜率公式，消除 $e^{2\theta}$ 後，代入 $\theta = \pi/4$ 計算斜率。

2. 第二部分：計算 $0 \le \theta \le \pi/2$ 的弧長

   • 極座標曲線的弧長公式為： $L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2} \,\mathrm{d}\theta$
   • 代入 $r = e^{2\theta}$ 與 $r' = 2e^{2\theta}$，並對根式進行化簡後直接積分求值。

第一部分：計算切線斜率

直角座標與極座標的轉換關係為：

已知極座標方程式為 $r = e^{2\theta}$，對 $\theta$ 求導得：

切線斜率的公式為：

將 $r = e^{2\theta}$ 與 $\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} = 2e^{2\theta}$ 代入斜率公式：

同除以公因子 $e^{2\theta}$：

將 $\theta = \frac{\pi}{4}$ 代入（此時 $\sin\frac{\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$）：

第二部分：計算弧長

極座標弧長公式為：

將 $r^2 = \left(e^{2\theta}\right)^2 = e^{4\theta}$ 且 $\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 = \left(2e^{2\theta}\right)^2 = 4e^{4\theta}$ 代入根號中：

結論：

• 切線斜率為 $3$
• 弧長為 $\frac{\sqrt{5}}{2}\left(e^{\pi}-1\right)$