1. 本題要求計算函數 $f(x)$ 在 $x=0$ 處的第 $2025$ 階導數值 $f^{(2025)}(0)$。
2. 由於階數極高，直接求導是完全不可行的。標準方法是利用麥克勞林級數（泰勒級數）的展開項係數與高階導數的關係： $f(x) = \sum_{m=0}^{\infty} c_m x^m, \quad \text{其中 } c_m = \frac{f^{(m)}(0)}{m!}$ 因此，一旦我們能在展開式中找出 $x^{2025}$ 項的係數 $c_{2025}$，就能利用以下關係式求出答案： $f^{(2025)}(0) = 2025! \cdot c_{2025}$
3. 進行泰勒展開：
   • 多項式部分已是展開形式：$(1-x)^3 = 1 - 3x + 3x^2 - x^3$。
   • 指數部分利用基本展開式 $e^u = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$（令 $u = -x^4$）： $e^{-x^4} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n}}{n!}$
   • 函數 $f(x)$ 即為： $f(x) = (1 - 3x + 3x^2 - x^3) \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{4n}}{n!}$
4. 尋找 $x^{2025}$ 項： 因為指數部分的次方全部都是 $4$ 的倍數（$4n$），而多項式部分的次方只有 $0, 1, 2, 3$。 我們要拼湊出 $4n + r = 2025$（其中 $r \in \{0, 1, 2, 3\}$）：
   • $2025 \div 4 = 506 \dots 1 \implies 2025 = 4(506) + 1$。
   • 這說明唯一能產生 $x^{2025}$ 的組合是：多項式部分的 $-3x$（$r=1$ 項）乘上級數部分的 $n=506$ 項。
5. 提取該項係數，即可計算出最終導數。

首先，將函數 $f(x)$ 寫為兩部分麥克勞林展開式的乘積： 多項式展開式：

指數函數麥克勞林級數：

因此，函數 $f(x)$ 可以表示為：

根據麥克勞林級數的定義， $x^{2025}$ 項的係數 $c_{2025}$ 滿足關係：

我們從乘積展開式中尋找次數剛好為 $2025$ 的項。次數必須滿足：

對 $2025$ 進行除以 $4$ 的餘數分析：

這說明只有當 $r = 1$ 且 $n = 506$ 時，才能產生 $x^{2025}$ 次方項。

我們提取該對應項的乘積：

其對應的項為：

由此可得 $x^{2025}$ 項的係數為：

將 $c_{2025}$ 代回式 (1) 中，即可求得高階導數值：

結論： $f^{(2025)}(0) = -3 \cdot \frac{2025!}{506!}$。